Conic Sections the Polar Way

By Margaret Messinger

Introduction

Ιν τηϵ ϕολλοωινγ σϵχτιονσ, τηρϵϵ χονιχ σϵχτιονσ αρϵ στυδιϵδ ανδ ρϵλατιονσηιπσ αρϵ σηοων ασ α ποιντ μοϖϵσ αλονγ τηϵ χυρϖϵ.  Νοτιχϵ τηϵ ϵχχϵντριχιτψ, ϵ[τηϵτα], τηϵ διρϵχτϵριξ, δ, τηϵ ϕοχυσ ορ ονϵ οϕ τηϵ ϕοχι, ϕιξποιντ[τηϵτα], ανδ τηϵ μοϖινγ ποιντ, ϕιξποιντ[τηϵτα].   Τηϵ διρϵχτϵριξ αππϵαρσ ον τηϵ λϵϕτ οϕ τηϵ ϕιρστ χυρϖϵ, ον τηϵ τοπ οϕ τηϵ σϵχονδ χυρϖϵ, ανδ ον τηϵ ριγητ οϕ τηϵ τηιρδ χυρϖϵ.

The ellipse

Τηϵ στανδαρδ ϵθυατιον, \(TraditionalForm
      \`ϵ\/\(1 - 
          ϵ*\ 
            χοσ[τηϵτα]
              \)\), ψιϵλδσ αν ϵλλιπσϵ ωηϵν 0<ϵ<1,  Τηϵ διρϵχτϵριξ ωιλλ βϵ το τηϵ λϵϕτ οϕ τηϵ χυρϖϵ ωιτη τηϵ συβραχτιον ιν τηϵ δϵνομινατορ ανδ ωιλλ βϵ τηϵ τηϵ ριγητ ιϕ αδδιτιον ισ υσϵδ.   Νοτϵ τηατ τηϵ ϵχχϵντριχιτψ ισ (1/2) ιν τηϵ ϵλλιπσϵ γιϖϵν.  Ψου μαψ χηανγϵ τηισ ϖαλυϵ ανδ τηϵ οπϵρατιον ιν τηϵ δϵνομινατορ το ϵξπϵριϵνχϵ τηϵ χηανγϵ.  Τηϵ ρατιο (1/2) ισ σϵϵν ιν τηϵ γραπη ασ τηϵ λϵνγτη οϕ τηϵ γρϵϵν λινϵ ιν τηϵ νυμϵρατορ ανδ τηϵ λϵνγτη οϕ τηϵ ρϵδ λινϵ ιν τηϵ δϵνομινατορ.

Clear[pr, parabola, directrix, directrixlabel, varpoint, fixpoint, 
        lineplot, fixpplot, ratio, fixplabel, pointlabel, dsymlabel, plotall]
        
	<< Graphics`Colors`<< Graphics`Graphics`<< Graphics`Animation`
	r[θ_]:=(1/2)/(1 - (1/2) Cos[θ])
		ellipse = 
        PolarPlot[r[θ], {θ, 0, 2 Pi}, 
          DisplayFunction ->  Identity];

\(\(
	\(directrix = Graphics[Line[{{\(-1\), \(-1\)}, {\(-1\), 1}}]]; 
    \)\)\)

\(directrixlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["      directrix", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\(-.99\), 
            \(-1.2\)}]]\)\(varpoint[θ_]\  := \ 
      Graphics[

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {Blue, 
          PointSize[.02], 
          Point[{r[θ]*Cos[θ], r[θ]*Sin[θ]}]}

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]\)\(fixpoint[θ_]\  := \ 
      Graphics[

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {Violet, 
          PointSize[.02], Point[{0, 0}]}

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]\)\(	lineplot[θ_] := 
      Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], 
          Line[{{\(-1\), r[θ]*Sin[θ]}, {
                r[θ]*Cos[θ], r[θ]*Sin[θ]}}]}]
\)fixpplot[θ_] := 
      Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], 
          Line[{{0, 0}, {r[θ]*Cos[θ], 
                r[θ]*Sin[θ]}}]}]

\(\(
linemag[θ_] := Sqrt[\((r[θ]*Cos[θ] + 1)\)^2]

    \)\)

pointmag[θ_] := 
      Sqrt[(r[θ]*Cos[θ])^2 + 
          (r[θ]*Sin[θ])^2]

\(e[θ_] := pointmag[θ]/linemag[θ]
	\)\(ratio[θ_] := 
      Graphics[Text["=fp/dp" N[e[θ]], 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {.1, .875}]]\)\(fixplabel[θ_] := 
      Graphics[Text[" f fixed point", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {.01, \(-.0875\)}]]
        \)\(pointlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["  p  ", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {
            r[θ]*Cos[θ] + .05, 
            r[θ]*Sin[θ] + .08}]]\)\(dsymlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["  d  ", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\(-1.03\), 
            r[θ]*Sin[θ] + .05}]]
\)

plotall[θ_] := 
      Show[ellipse, directrix, directrixlabel[θ], varpoint[θ], 
        fixpoint[θ], lineplot[θ], fixpplot[θ], 
        ratio[θ], fixplabel[θ], pointlabel[θ], 
        dsymlabel[θ], DisplayFunction ->  $DisplayFunction]

\(\(
	
    \(ShowAnimation[plotall[Pi/2], plotall[Pi], plotall[3*Pi/2], 
      plotall[15/8*Pi]]; \)\)\)

Ματηϵματιχα γιϖϵσ υσ ανοτηϵρ ωαψ το πλοτ αν ϵλλιπσϵ ανδ νοτιχϵ τηατ ιτ ισ οϕϕσϵτ σο τηατ ψου χαν σϵϵ τηϵ πολαρ πλοτ συπϵριμποσϵδ ον τηϵ χαρτϵσιαν.

majormag = (r[0]*Cos[0] - r[Pi]*Cos[Pi])/2;

focimag = majormag - Abs[r[Pi]*Cos[Pi]];

minormag = Sqrt[majormag^2 - focimag^2];

Show[
      Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], 
          Circle[{focimag +  .015, 0}, {majormag, minormag}]}], ellipse, 
      directrix, Axes -> True, DisplayFunction -> $DisplayFunction];

\(\(

\)\)

The parabola

Τηϵ στανδαρδ ϵθυατιον, \(TraditionalForm
      \`ϵ\/\(1 + 
          ϵ*
            σιν[τηϵτα]\)\), ψιϵλδσ α παραβολα ωηϵν ϵ=1,  Τηϵ διρϵχτϵριξ ισ αβοϖϵ τηϵ χυρϖϵ ιν τηισ ϵξαμπλϵ. Ρϵμϵμβϵρ τηατ τηϵ παραβολα ισ τηϵ λοχυσ οϕ ποιντσ τηατ αρϵ ϵθυιδισταντ ϕρομ τηϵ ϕιξϵδ ποιντ ανδ λινϵ.

Clear[pr, parabola, directrix, directrixlabel, varpoint, fixpoint, 
        lineplot, fixpplot, ratio, fixplabel, pointlabel, dsymlabel, plotall]
        
	<< Graphics`Colors`<< Graphics`Graphics`<< Graphics`Animation`
pr[θ_] := (1)/(1 + (1) Sin[θ])
	parabola = 
      PolarPlot[pr[θ], {θ, -4*Pi/16, 20* Pi/16}, 
        DisplayFunction ->  Identity];

\(\(\(directrix = Graphics[Line[{{\(-2.5\), 1}, {2.5, 1}}]]; \)
\)\)

\(directrixlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["      directrix", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {0, 1.2}]]
\)\(varpoint[θ_]\  := \ 
      Graphics[

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {Blue, 
          PointSize[.02], 
          Point[{pr[θ]*Cos[θ], pr[θ]*Sin[θ]}]}

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]
\)\(fixpoint[θ_]\  := \ 
      Graphics[

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {Violet, 
          PointSize[.02], Point[{0, 0}]}

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]
\)\(	lineplot[θ_] := 
      Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], 
          Line[{{pr[θ]*Cos[θ], 1}, {pr[θ]*Cos[θ], 
                pr[θ]*Sin[θ]}}]}]
\)fixpplot[θ_] := 
      Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], 
          Line[{{0, 0}, {pr[θ]*Cos[θ], 
                pr[θ]*Sin[θ]}}]}]

\(\(
linemag[θ_] := Sqrt[\((1 - pr[θ]*Sin[θ])\)^2]

    \)\)

\(\(pointmag[θ_] := 
      Sqrt[\((pr[θ]*Cos[θ])\)^2 + 
          \((pr[θ]*Sin[θ])\)^2]
\)\)

\(e[θ_] := pointmag[θ]/linemag[θ]
	\)\(ratio[θ_] := 
      Graphics[Text["=fp/dp" N[e[θ]], 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {.1, .875}]]
\)\(fixplabel[θ_] := 
      Graphics[Text[" f fixed point", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {.01, \(-.0875\)}]]
        
\)\(	pointlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["  p  ", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {
            pr[θ]*Cos[θ] + .05, 
            pr[θ]*Sin[θ] + .08}]]
\)\(	dsymlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["  d  ", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {
            pr[θ]*Cos[θ] + .05, 1.05}]]\)

plotall[θ_] := 
      Show[parabola, directrix, directrixlabel[θ], varpoint[θ], 
        fixpoint[θ], lineplot[θ], fixpplot[θ], 
        ratio[θ], fixplabel[θ], pointlabel[θ], 
        dsymlabel[θ], DisplayFunction -> $DisplayFunction]

\(\(	\(ShowAnimation[plotall[\(-3\)*Pi/16], plotall[0], 
      plotall[4*Pi/16], plotall[Pi/2], plotall[12*Pi/16], plotall[Pi], 
      plotall[19*Pi/16]]; \)\)\)

Ματηϵματιχα γιϖϵσ υσ ανοτηϵρ ωαψ το πλοτ α παραβολα.  Τηϵ ρϵδ παραβολα ισ τηϵ χαρτϵσιαν ρϵπρϵσϵντατιον οϕ τηϵ χυρϖϵ ανδ τηϵ σϵχονδ τηϵ πολαρ πλοτ.

anotherparabola := 
      Plot[(1 - x^2)/2, {x, -2.5, 2.5}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]

Show[anotherparabola, parabola, directrix, Axes -> True, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction];

\(
\)

The hyperbola

Τηϵ στανδαρδ ϵθυατιον, \(TraditionalForm
      \`ϵ\/\(1 + 
          ϵ*\ 
            χοσ[τηϵτα]
              \)\), ψιϵλδσ αν ηψπϵρβολα ωηϵν ϵ>1.   Νοτϵ τηϵ συμ ιν τηϵ δϵνομινατορ, τηυσ τηϵ διρϵχτϵριξ ωιλλ βϵ ον τηϵ ριγητ.  Τηϵ ρατιο ϵ ((2/1)) ισ σϵϵν ιν τηϵ γραπη ασ τηϵ λϵνγτη οϕ τηϵ γρϵϵν λινϵ ιν τηϵ νυμϵρατορ ανδ τηϵ λϵνγτη οϕ τηϵ ρϵδ λινϵ ιν τηϵ δϵνομινατορ.  Αγαιν, ψου χαν χηανγϵ τηϵ ϵχχϵντριχιτψ, 2, ιν τηϵ ηρ[τηϵτα] λινϵ.

Clear[pr, parabola, directrix, directrixlabel, varpoint, fixpoint, 
        lineplot, fixpplot, ratio, fixplabel, pointlabel, dsymlabel, plotall]
        
<< Graphics`Colors`<< Graphics`Graphics`<< Graphics`Animation`
		hr[θ_] := (2)/(1 + (2) Cos[θ])
	\(lhyperbola = 
      PolarPlot[hr[θ], {θ, \(-8\)*Pi/16, 8*Pi/16}, 
        DisplayFunction -> \ Identity]; 


    otherhalf = 
      PolarPlot[hr[θ], {θ, 9*Pi/16, 23*\ Pi/16}, 
        PlotRange -> {{0.0, 3}, {\(-2\), 2}}, DisplayFunction -> \ Identity]; 
    \)

directrix = Graphics[Line[{{1, -1.5}, {1, 1.5}}]];

\(\(focimag = 4/3; 
majormag = 2/3; 

    minormag = Sqrt[focimag^2 - majormag^2]; 
\)\)

\(directrixlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["      directrix", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {1, 2.5}]]
\)\(varpoint[θ_]\  := \ 
      Graphics[

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {Blue, 
          PointSize[.02], 
          Point[{hr[θ]*Cos[θ], hr[θ]*Sin[θ]}]}

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]
\)\(fixpoint[θ_]\  := \ 
      Graphics[

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {Violet, 
          PointSize[.02], Point[{0, 0}]}

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]
\)\(	lineplot[θ_] := 
      Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], 
          Line[{{1, hr[θ]*Sin[θ]}, {hr[θ]*Cos[θ], 
                hr[θ]*Sin[θ]}}]}]
\)fixpplot[θ_] := 
      Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], 
          Line[{{0, 0}, {hr[θ]*Cos[θ], 
                hr[θ]*Sin[θ]}}]}]

\(\(
linemag[θ_] := Sqrt[\((1 - hr[θ]*Cos[θ])\)^2]

    \)\)

\(\(pointmag[θ_] := 
      Sqrt[\((hr[θ]*Cos[θ])\)^2 + 
          \((hr[θ]*Sin[θ])\)^2]
\)\)

\(e[θ_] := pointmag[θ]/linemag[θ]
	\)\(ratio[θ_] := 
      Graphics[Text["=fp/dp" N[e[θ]], 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {.51, .875}]]
\)\(fixplabel[θ_] := 
      Graphics[Text[" f fixed point", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {.59, \(-.0875\)}]]
        
\)\(pointlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["  p  ", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {
            hr[θ]*Cos[θ] + .05, 
            hr[θ]*Sin[θ] + .08}]]
\)\(dsymlabel[θ_]\  := \ 
      Graphics[Text["  d  ", 

          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {1.05, 
            hr[θ]*Sin[θ] + .05}]]\)

plotall[θ_] := 
      Show[lhyperbola, directrix, directrixlabel[θ], 
        varpoint[θ], fixpoint[θ], lineplot[θ], 
        fixpplot[θ], ratio[θ], fixplabel[θ], 
        pointlabel[θ], dsymlabel[θ], 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, Axes -> False]

\(\(
	
    \(ShowAnimation[plotall[\(-7\)*Pi/16], plotall[Pi/32], plotall[7*Pi/16]]; 
    \)\)\)

Νοτϵ τηατ τηϵ οτηϵρ (ριγητ) σιδϵ οϕ τηϵ ηψπϵρβολα αλσο ινχλυδϵσ τηϵ ασψμπτοτϵσ ανδ τηϵ διρϵχτϵριξ ισ ον τηϵ λϵϕτ.

Clear[plotall]\(	plotall[θ_] := 
      Show[otherhalf, directrix, directrixlabel[θ], 
        varpoint[θ], fixpoint[θ], lineplot[θ], 
        fixpplot[θ], ratio[θ], fixplabel[θ], 
        pointlabel[θ], dsymlabel[θ], 
        PlotRange -> {{\(-1\), 3}, {\(-3\), 3}}, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, Axes -> False]\)

ShowAnimation[plotall[19*Pi/16], plotall[33*Pi/32], 
      plotall[13*Pi/16]];